X se acerca al infinito
Entonces, ¿qué es un límite en el infinito? ¿O un límite en el infinito? ¿Y por qué suenan tan parecidos? Bueno, el razonamiento es que ambos conceptos tratan del infinito y casualmente también tratan de las asíntotas, sin embargo ahí termina la similitud.
Un “límite infinito” es cuando no se puede determinar el límite de un problema simplemente porque la gráfica continúa hacia arriba infinitamente antes de saltar al infinito negativo y continuar de nuevo hacia arriba. Este enorme salto impide que la gráfica sea continua, por lo que el límite es imposible de determinar. A veces esto se representa simplemente como “No existe” aunque generalmente se representa como +∞ cuando se aproxima por la derecha, -∞ cuando se aproxima por la izquierda, y simplemente ∞ si una dirección no está en la notación. La siguiente gráfica muestra una situación que implica un límite infinito. (El límite de y=1/x cuando x se acerca a 0).
Los límites en el infinito también son asíntotas, sin embargo, estas son asíntotas horizontales con las que estamos tratando esta vez. Los límites en el infinito tienen problemas cuando el “límite a medida que x se acerca al infinito o al infinito negativo” está en la notación. Para encontrar el límite a medida que x se acerca al infinito hay que tomar el grado más alto del denominador y dividir cada término del problema por él. Después de reducir la fracción, se puede sustituir el infinito por algunos términos para igualar a cero. La fracción resultante es la asíntota horizontal o el límite a medida que x se acerca al infinito. Si el problema no elimina todas las variables, será ∞/∞, que no existe, o 0. El siguiente es un ejemplo en forma de número de cómo resolver un problema de límites que se acercan al infinito.
Límite 0/0
Actualmente estoy aprendiendo sobre límites infinitos en Cálculo, básicamente determinando el límite de una función cuando x se acerca al infinito. Sin embargo, me cuesta entender el método que se utiliza para encontrarlo.
Tomemos la función anterior. El método anterior parece consistir en ignorar todos los términos de menor potencia excepto los términos de mayor potencia. Luego, como los dos términos más altos son x^5, los tachamos y luego dividimos sus coeficientes, para obtener un límite de 2/3.
¿Puede alguien explicarme lo anterior? ¿Puede también no hacer la explicación demasiado rigurosa? Apenas estoy aprendiendo el Cálculo de Khan Academy, y aún no he tocado cosas como las pruebas de épsilon delta. Gracias.
El problema con el proceso de pensamiento es que quieres la respuesta plana en el infinito, cuando un matemático está mirando al infinito tenemos que ver que es un concepto y no es alcanzable por lo que el enfoque no es lo que es sino a lo que tiende.
Límite de una función
Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito en el infinito. Luego estudiamos la idea de una función con un límite infinito en el infinito. Ya en la Introducción a las funciones y las gráficas vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.
Recordemos que \( \displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L\) significa que \f(f(x)\f) se acerca arbitrariamente a \f(L\f) siempre que \f(x\f) esté suficientemente cerca de \f(a). Podemos extender esta idea a los límites en el infinito. Por ejemplo, consideremos la función \(f(x)=2+\frac{1}{x}\). Como se puede ver gráficamente en la Figura y numéricamente en la Tabla, a medida que los valores de \(x\) se hacen mayores, los valores de \(f(x)\) se acercan a \(2\). Decimos que el límite a medida que \(x\) se acerca a \(∞\) de \(f(x)\) es \(2\) y escribimos \( \displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=2\). Análogamente, para \(x<0\), a medida que los valores \(|x|\) se hacen mayores, los valores de \(f(x)\) se aproximan a \(2\). Decimos que el límite a medida que \(x\) se acerca a \(-∞\) de \(f(x)\) es \(2\) y escribimos \( \displaystyle \lim_{x→-∞}f(x)=2\).
Asíntota vertical
Estas son las reglas para los límites infinitos:1) Si la mayor potencia de x aparece en el denominador (peso inferior) ,el límite es cero independientemente de que x se acerque al infinito negativo o positivo.2) Si la mayor potencia de x aparece en el numerador (peso superior), el límite es el infinito positivo o negativo.Para definir el signo , introducimos números muy grandes o pequeños según lo que tengamos en la pregunta y determinamos el signo del infinito.3 ) Si la mayor potencia de x aparece tanto en el numerador como en el denominador (potencias iguales), el límite es el coeficiente de la mayor potencia del numerador dividido por el coeficiente de la mayor potencia del denominador. EJEMPLOS